Poliedros Arquimedianos no SageMath

Truncamentos

Das várias formas que existem para se truncar um poliedro, utilizaremos apenas duas delas e vamos denominá-las de truncamento tipo-1 e tipo-2. No truncamento tipo-1 o corte é feito pelos pontos médios das arestas que concorrem no mesmo vértice e no tipo-2 o corte é feito de tal forma que a face do novo poliedro seja um polígono regular que tenha o dobro do número de lados da face do poliedro primitivo (antes do corte). Independente do tipo de truncamento, cada vértice se transforma em uma nova face. Além disso, as partes retiradas sempre serão pirâmides regulares, onde o número de lados do polígono da base será igual ao número de arestas que concorrem num mesmo vértice, e o corte será perpendicular ao eixo de pirâmide.

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-1:

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-2:

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-1, seguido por um truncamento do tipo-2:

Poliedro:

Cuboctaedro Truncado

Poliedro:

Icosidodecaedro Truncado

Cuboctaedro

Fazendo o truncamento tipo-1 no cubo ou no octaedro regular, obtemos o cuboctaedro. De fato o octaedro possui 8 faces triângulos equiláteros, 12 arestas, 6 vértices e m = 4, portanto após o truncamento vamos obter 8 faces triângulos equiláteros (mesma quantidade de faces do octaedro) mais 6 faces quadradas (que foi formada a partir dos 6 vértices do octaedro). Com isso teremos um total de 14 faces.

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Icosidodecaedro

Fazendo o truncamento tipo-1 no dodecaedro regular ou no icosaedro regular, obtemos o Icosidodecaedro. De fato o dodecaedro regular possui 12 faces pentágonos regulares, 30 arestas e 20 vértices, portanto após o truncamento vamos obter 12 faces pentágono regulares (mesma quantidade de faces do dodecaedro) mais 20 faces triângulos equiláteros (que foi formada a partir dos 20 vértices do dodecaedro). Com isso teremos um total de 32 faces.

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Tetraedro Truncado

O Tetraedro Truncado é obtido através do truncamento tipo-2 feito no tetraedro regular. O tetraedro regular possui 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 nesse poliedro, obtemos 4 faces hexagonais (mesma quantidade do tetraedro) mais 4 faces triangulares (que foi formada a partir dos 4 vértices do tetraedro), formando um total de 8 faces.

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Octaedro Truncado

O Octaedro Truncado é obtido através do truncamento tipo-2 feito no octaedro regular. O octaedro regular possui 8 faces triângulos, 12 arestas e 6 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 neste poliedro, obtemos 8 faces hexagonais (mesma quantidade das faces do octaedro) mais 6 faces quadradas (que foi formada a partir dos 6 vértices do octaedro), formando um total de 14 faces.

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Cubo Truncado

O Cubo Truncado é obtido através do truncamento tipo-2 feito no cubo. O cubo possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 neste poliedro, obtemos 6 faces octogonais (mesma quantidade das faces do cubo) mais 8 faces triangulares (que foi formada a partir dos 8 vértices do cubo), formando um total de 14 faces.

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Dodecaedro Truncado

O Dodecaedro Truncado é obtido através do truncamento tipo-2 feito no dodecaedro regular. O dodecaedro regular possui 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 neste poliedro, obtemos 12 faces decágonos regulares (mesma quantidade das faces pentagonais do dodecaedro) mais 20 faces triângulos equiláteros (que foi formada a partir dos 20 vértices do dodecaedro), formando um total de 32 faces.

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dodecaedro_truncado.stl

Icosaedro Truncado

O Icosaedro Truncado é obtido através do truncamento tipo-2 feito no icosaedro regular. O icosaedro regular possui 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 neste poliedro, obtemos 20 faces hexágonos regulares mais 12 faces pentágonos regulares (que foi formada a partir dos 12 vértices do Icosaedro), formando um total de 32 faces.

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icosaedro_truncado.stl

Cuboctaedro Truncado

O Cuboctaedro Truncado é obtido através de um truncamento feito no cuboctaedro. O cuboctaedro possui 6 faces quadradas, 8 faces triângulos equiláteros, 24 arestas e 12 vértices, portanto, fazendo o truncamento tipo-2 neste poliedro vamos obter 6 faces octogonais, 8 faces hexagonais e 12 faces retangulares (que foi formada a partir dos 12 vértices), totalizando 26 faces. O truncamento do cuboctaedro gera um poliedro que não é arquimediano, pois algumas de suas faces não são polígonos regulares (são retângulos). É possível fazer um ajuste para que as faces fiquem regulares.

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cuboctaedro_truncado.stl cuboctaedro_trun_ajust.stl

Abaixo temos o Cuboctaedro Truncado, sem o ajuste, seguido pelo Cuboctaedro Truncado com ajuste.

Icosidodecaedro Truncado

O Icosidodecaedro possui 20 faces triângulos equiláteros, 12 pentágonos regu- lares, 60 arestas e 30 vértices. Fazendo o truncamento tipo-2, vamos obter o icosidodecaedro truncado ou (grande rombicosidodecaedro), que possui 20 faces hexágonos, 12 faces decágonos e 30 faces retângulos (que foi formada a partir dos 12 vértices), totalizando 62 faces. Observe que o truncamento do icosidodecaedro gera um poliedro que não é arquimediano, pois algumas de suas faces não são regulares (são retângulos). Porém, fazendo um ajuste adequado, podemos transformá- lo em um poliedro arquimediano. Para isso, basta fazer com que as faces retangulares se transformem em quadrados.

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icosidodecaedro_truncado.stl icosidodecaedro_trun_ajust.stl

Abaixo temos o icosidodecaedro truncado, sem o ajuste, seguido pelo Icosidodecaedro Truncado com ajuste.

Snubficação

A snubificação de um poliedro regular é uma operação que consiste em afastar todas as faces desse poliedro, rotacionando-as ou não, e preenchendo os espaços vazios com polígonos regulares. No caso de haver rotação, essa operação é chamada simplesmente de snubificação. Quando não houver rotação, a snubificação é conhecida como expansão. Os poliedros obtidos através de expansão são chamados de rombos, e os obtidos através de snubificação são chamados de snub.

Na expansão, entre as arestas afastadas, o preenchimento é feito com 1 (um) quadrado, e entre os vértices o preenchimento é feito com um polígono regular cujo número de lados é igual a m (número de arestas que concorrem no mesmo vértice).

Na snubificação, entre as arestas afastadas, o preenchimento é feito com 2 (dois) triângulos equiláteros, e entre os vértices o preenchimento é feito com polígonos regulares: triângulos, quadrados ou pentágonos, dependendo do valor de m.

Expansão:

Snub:

Rombicuboctaedro

Fazendo a expansão no cubo ou no octaedro regular, obtemos o rombicuboctaedro. O cubo, que possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices. Com a expansão das faces do cubo, as 12 arestas formarão mais 12 quadrados. Teremos então 18 quadrados (6 + 12 = 18) e mais 8 triângulos equiláteros (já que são 8 vértices). Ficando um total de 26 faces.

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Rombicosidodecaedro

Fazendo a expansão no dodecaedro regular ou no icosaedro regular, obtemos o rombicosidodecaedro (ou pequeno rombicosidodecaedro). O dodecaedro regular, que possui 12 faces pentágonos regulares, 30 arestas e 20 vértices. Com a expansão das faces do dodecaedro, as 30 arestas formarão 30 quadrados e os 20 vértices formarão mais 20 triângulos equiláteros. Teremos então 12 faces pentágonos regulares, mais 30 faces quadrados e mais 20 triângulos equiláteros (já que são 20 vértices). Ficando um total de 62 faces.

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rombicosidodecaedro.stl

Cubo snub

Fazendo a snubificação no cubo ou no octaedro regular, obtemos o cubo snub (ou cuboctaedro snub). O cubo, que possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices. Com a snubificação do cubo, teremos 24 triângulos equiláteros, que irão preencher os espaços vazios entre as arestas afastadas do cubo, 8 triângulos equiláteros, formados a partir dos vértices, além dos 6 quadrados que já existiam, ficando um total de 38 faces.

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cubo_snub.stl

Dodecaedro snub

Fazendo a snubificação no dodecaedro regular ou no icosaedro regular, obtemos o dodecaedro snub (ou icosidodecaedro snub). A partir do dodecaedro, que possui 12 faces pentágonos regulares, 30 arestas, 20 vértices. Com a snubificação do dodecaedro, teremos 60 triângulos equiláteros, que irão preencher os espaços vazios entre as arestas afastadas do dodecaedro, 20 triângulos equiláteros, formados a partir dos vértices, além dos 12 pentágonos regulares que já existiam, ficando um total de 92 faces.

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dodecaedro_snub.stl

Truncamentos

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-1:

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-2:

Poliedros obtidos por truncamento do tipo-1, seguido por um truncamento do tipo-2:

Cuboctaedro

Icosidodecaedro

Tetraedro Truncado

Octaedro Truncado

Cubo Truncado

Dodecaedro Truncado

Icosaedro Truncado

Cuboctaedro Truncado

Icosidodecaedro Truncado

Snubficação

Expansão:

Snub:

Rombicuboctaedro

Rombicosidodecaedro

Cubo snub

Dodecaedro snub

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